Презентация на тему "Вневписанная окружность треугольника"

Категория:
  1. Презентации для учителей
  2. Музыка

Автор презентации: Миклин Артем Владимирович

Материал предназначен для профильных классов и лицеев. Детей средней и низкой подготовленности лучше не пугать данным материалом, иначе математику они точно любить не будут

Слайд 1ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Слайд 2Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, к которой являются касательными одна из сторон треугольника и продолжения двух других сторон.
Слайд 3Соотношение между длинами отрезков касательных Теорема 1 : Расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности с продолжением стороны, содержащей ее, за вершину противолежащей стороны равно полупериметру треугольника. Доказательство. Обозначим через В₁, С₁, и Т а – точки касания вневписанной окружности с прямыми АС, АВ и ВС соответственно. Тогда СВ₁ = СТ а, ВС₁ = ВТ а и периметр треугольника АВС: P = AC + СТ а + ВТ а + АВ = АС + СВ₁ + ВС₁ + АВ = АВ₁ + АС₁. Т.к. АВ₁ = АС₁, то расстояния АВ₁ и АС₁ равны полупериметру треугольника АВС.
Слайд 4Следствие 1: Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Примечание: В треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине. То же соблюдается и для вневписанной окружности. AN = AK = p – a, BM = BK = p – b, CN = CM = p – c.
Слайд 5Следствие 2: Для отрезков касательных, связанных с вневписанными окружностями треугольника, выполняются равенства: ВТ с = ВА 1 = СТ b = CA 2 = p-a, AT c = AB 2 = CT a = CB 1 = p-b, BT a = BC 1 = AT b = AC 2 = p-c. Следствие 3: Верны следующие равенства: B 2 T b = C 2 T c = AT c + AT b = a, C 1 T c = A 1 T a = BT c + BT a = b, B 1 T b = A 2 T a = CT b + CT a = c. Следствие 4: Расстояния между точками касаний вневписанных окружностей продолжений сторон за вершины треугольника равны: C 1 C 2 = a +b, B 1 B 2 = a + c, A 1 A 2 = b + c. Из следствия 1 Получаются при попарном сложении равенств из следствия 2 Получаются при попарном сложении равенств из следствия 3
Слайд 6Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей Теорема 2: Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС треугольника АВС, вычисляется по формуле r a = Доказательство. Выполняются следующие равенства: S ABC = S OCA + S OBA - S OCB = 0,5r a b + 0,5r a c – 0,5r a a = r a (p -a). Аналогично получаются формулы: r b = и r c =
Слайд 7Следствие 1: Большей стороне треугольника соответствует касающаяся её вневписанная окружность большего радиуса и наоборот. Следствие 2: Радиус вневписанной окружности треугольника больше радиуса окружности, вписанной в тот же треугольник. Следствие 3: Площадь треугольника АВС может быть вычислена по формулам: S = r a (p - a), S = r b (p - b), S = r c (p - c).
Слайд 8Следствие 4: Для отношения радиусов вписанной и вневписанных окружностей имеют место равенства: r/ r a = , r a / r b = , r a / r c = . Следствие 5: Используя формулу Герона, получим формулы для вычисления длин радиусов через стороны треугольника: r a = r b = r c =
Слайд 9Теорема 3: Радиус вневписанной окружности, касающейся боковой стороны равнобедренного треугольника, равен высоте треугольника, опущенной на основание. Доказательство. Пусть O a, O b и O c – центры вневписанных окружностей треугольника АВС, C a, C b и T c – точки касания этих окружностей с прямой АВ. Т.к. треугольник АВС – равнобедренный (АС = ВС), то высота, опущенная из вершины С, лежит на биссектрисе СО с угла С, и поэтому СО с ⊥ АВ. С другой стороны радиус О с Т с ⊥ АВ, следовательно, точка Т с лежит на биссектрисе угла С. Отсюда ОТ с ⊥ АВ и СТ с является высотой треугольника АВС. Заметим, что СО с ⊥ CO b как биссектрисы внутреннего и внешнего угла треугольника при вершине С, СО с ⊥ АВ и O b C b ⊥ АВ. Следовательно, четырехугольник T c CO b C b – прямоугольник. Значит, r b = O b C b = CT c .
Слайд 10Следствие: В равнобедренном треугольнике расстояние от вершины, лежащей напротив основания, до центра вневписанной окружности, касающееся боковой стороны, равно боковой стороне. Доказательство. Т.к. BC b = p = b + 0,5 c, то получаем CO b = T c C b = p – 0,5 c = b .
Слайд 11Теорема 4: Радиусы вневписанных окружностей выражаются через стороны равнобедренного треугольника формулами: r a = r b = и r c = 0,5c * Доказательство. Из доказательства теоремы 3 следует, что CT c ⊥ AB и BT c = AT c = 0,5c. Из прямоугольного треугольника T c CA r b = CT c = Прямоугольные треугольники О с Т с А и O b C b A подобны по двум углам. Тогда = = = . Отсюда = или r c =0,5c * Следствие. Для равностороннего треугольника r a = r b = r c = =3 r, где а – сторона треугольника и r – радиус вписанной окружности.
Слайд 12Теорема 5: Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы прямоугольного треугольника, равен полупериметру этого треугольника, т.е. r c = p. Доказательство. Пусть вневписанная окружность с центром в О с касается продолжений катетов СВ и СА в точках А 3 и В 3 соответственно. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны прямым СВ и СА. Из теоремы 1 отрезки СА 3 = СВ 3 = p. Т.к. четырехугольник СВ 3 О с А 3 – квадрат, то r c = О с А 3 = СА 3 = p .
Слайд 13Следствие: Т.к. для прямоугольного треугольника имеют место формулы p = 2R +r = c + r, то получаем еще равенства r c = 2 R + r = c + r .
Слайд 14Теорема 6: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме радиусов вневписанных окружностей, касающихся катетов, т.е. c = r a + r b . Доказательство. Т.к. четырехугольники СТ а О а В 1 и СА 1 О b T b – квадраты, то CT a = r a, CT b = r b. Из следствия 3 теоремы 1 имеем r a + r b = CT­ a + CT­ b = c.
Слайд 15Следствие: Т.к. r c = c + r, то получаем r c = r + r a + r b .
Слайд 16Теорема 7: Доказать, что катеты прямоугольного треугольника АВС с прямым углом в вершине С могут быть найдены через радиусы r c , r a, r b вневписанных окружностей по формулам: а ) a = r c – r b и b = r c – r a ; б ) a = 2r a r c / r a + r c и b = 2r b r c / r b + r c . Доказательство. а) По следствию 2 теоремы 1 имеем r b = CT b = p – a. Т.к. по теореме 5 r c = p, то получаем a = r c – r b. Вторая формула доказывается аналогично. б) Т.к. центры вневписанных окружностей O a и О с лежат на биссектрисе внешнего угла В треугольника АВС, то прямоугольные треугольники О а Т а В и О с А 3 В подобны по двум углам. Тогда из равенства отношения сторон, лежащих против равных углов, О а Т а /О с А 3 = Т а В /ВА 3, получаем r a / r c = a – r a / r c – a. Отсюда a = 2r a r c / r a + r c. Следствие. Из первых двух формул теоремы 7 получаем |a – b| = | r a – r b | .
Слайд 17Расстояния до центров вневписанных окружностей
Слайд 18Теорема 9: Расстояния между центрами вневписанных окружностей треугольника АВС могут быть вычислены по формулам: O a O b = c* O a O c = b* O b O c = a* Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник CT a O a в котором CT a = p – b (следствие 2 теоремы 1) и O a T a = r a = (следствие 5 теоремы 2). Используя теорему Пифагора, получаем: СО а = = = . Аналогично из прямоугольного треугольника CT b O b находим CO b = Тогда O a O b = CO a + CO b = + = c* . Другие формулы доказываются аналогично.
Слайд 19Следствие. Расстояния от вершины С треугольника АВС до центров O a и O b вневписанных окружностей соответственно равны: С O a = и CO b = Замечание. Из прямоугольного треугольника СО с А 1 можно найти расстояние от вершины С треугольника АВС до центра О с вневписанной окружности: СО с = =
Слайд 20Соотношения между величинами углов Теорема 10: Сторона ВС треугольника АВС видна из центра O a вневписанной окружности, касающейся стороны С, под углом 90 - . Доказательство. Т.к. BO a и CO a – биссектрисы внешних углов треугольника АВС при вершинах В и С, то СВО а = 90 - и ВСО а = 90 - . Отсюда получаем ВО а С = 180 - СВО а - ВСО а = 180 - (90 - + 90 - ) = 90 -
Обязательно поделитесь с друзьями:
Скачать Размер презентации: 603.96 Kb

Посмотрите также:

— Презентация «Приведение дробей к общему знаменателю»
— Презентация к уроку-путешествию по математике для 5-го класса «Остров сокровищ»
— Презентация по математике по теме «Угол между векторами. Скалярное произведение векторов»
— Презентация «Решение логарифмических неравенств»
— Презентации по темам «Тригонометрия. Начало», «Тригонометрия. Уравнения и неравенства», «Тригонометрия. Функции, графики»
— Презентация внеклассного мероприятия по математике для 8-9-х классов «Математическая регата»
— Урок-спектакль «Прежде чем закурить - подумай!» (во время изучения темы «Задачи на проценты. Нахождение процентов от числа»)
— Презентация «Упрощение выражений»
— Презентация «Великая Отечественная война в цифрах и фактах»
— Урок-обобщение на тему «Теорема Пифагора»